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By Joswig Michael, Theobald Thorsten

Theobald T. Algorithmische Geometrie.. polyedrische und algebraische Methoden (de)(Vieweg, 2007)(ISBN 3834802816)

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Sei v eine Ecke von P. 6 implizieren dann rang A (v) = n. 14 Eine linear unabhängige, den Zeilenraum von A (v) aufspannende Teilmenge der Zeilen von A (v) heißt Basis für v bezüglich A. Falls P ein einfaches Polytop ist und die Zeilen der Matrix A genau aus den bis auf Normierung eindeutigen (äußeren) Facettennormalen von P bestehen, so ist für jede Ecke v die Basis eindeutig bestimmt. Jede Basis von v definiert einen spitzen Kegel mit Scheitel v, der das Polyeder P enthält. Dieser Kegel ist projektiv äquivalent zu einem Simplex, der P gewissermaßen lokal in v approximiert.

Dann ist Fj also ein beschränkter Durchschnitt von Halbräumen in der Hyperebene Hj . Da Hj mit einem affinen Raum der Dimension n − 1 identifiziert werden kann, ist Fj nach Induktionsannahme ein Polytop in der Hyperebene Hj und daher auch ein Polytop in R n . Sei Vj die Menge der Ecken von Fj und V = m j =1 Vj . Es genügt nun zu zeigen, dass P = conv V. Die Inklusion „⊇“ folgt unmittelbar, da V ⊆ P und P konvex ist. Für die umgekehrte Inklusion betrachten wir einen Punkt q ∈ P. Falls q ein Randpunkt von P ist, dann existiert ein j ∈ {1, .

2. 23 Der Simplex-Algorithmus terminiert nach höchstens (m n ) Iterationen. 22. Der Beweis ist zwar elementar, aber trickreich. Beweis. Seien I (k) und v(k) die Indexmenge I bzw. die Ecke v in der k-ten Iteration des Simplexalgorithmus. Entsprechend werden auch die verschiedenen Instanzen der anderen Variablen notiert. Falls der Algorithmus nicht nach (m n ) Iterationen terminiert, dann existieren ( k ) ( l ) ( k ) k < l mit I = I und folglich v = v(l ). Da das Verfahren entlang steigender 60 4 Lineare Optimierung Zielfunktion sucht, wird cv im Laufe der Iterationen niemals kleiner, und für λ > 0 sogar echt größer.

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